Beskedet kommer tio dagar efter parlamentsvalet, då Borissovs högerparti Gerb blev störst, men tappade stort sedan förra valet.
– Jag vill inte splittra landet, så jag kommer att föreslå en annan, tydligt EU- och Natotillvänd premiärminister, säger han till journalister under en resa till staden Veliko Tarnovo.
Gerb har sedan grundandet 2006 varit landets största parti i samtliga parlaments- och EU-val, men resultatet i det senaste valet betraktades allmänt som ett misslyckande.