Moa Bohlin stod för Enskedes avgörande mål efter 85 minuter.
Gästande Enskede startade matchen piggt och tog ledningen direkt i början av matchen. Efter bara fyra minuter slog Hanna Bråtegren till.
Linköping kvitterade till 1-1 i 34:e minuten, när Malin Co hittade rätt.
Enskede tog ledningen på nytt i 39:e minuten, när Liisa Loikkanen fick träff. Med en dryg halvtimme kvar att spela nätade Alva Erhagen och kvitterade för Linköping.
Men med fem minuter kvar att spela kom det matchavgörande målet genom Moa Bohlin.
Linköping har en vinst, två oavgjorda och två förluster och 7-14 i målskillnad på de senaste fem matcherna, medan Enskede har tre vinster, en oavgjord och en förlust och 16-6 i målskillnad.
Enskede ligger på fjärde plats i tabellen efter matchen, medan Linköping är på tionde plats.
Lagen möts igen 8 november på Enskede IP.
Nästa motstånd för Linköping är IFK Kalmar. Lagen möts lördag 17 maj 13.00 på Gröndals IP.