Matchens enda mål kom i första halvleken genom Louise Ahnlund.
Det var första segern för Linköping, efter 1-5-förlust mot Göteborg i premiären.
Lagen spelar mot varandra igen den 5 oktober på Malmö Stadionområdet.
Nästa motstånd för Linköping är Växjö. Lagen möts lördag 19 april 14.00 på Värendsvallen.